Bu yazımızda Çarpanlara Ayırma Formülleri ve Özdeşlikler Formüllerini detaylıca açıklıyoruz. Matematik dersinde önemli bir yeri olan bu konunun detaylıca öğrenilmesi siz değerli öğrencilerimize ciddi fayda sağlayacaktır.
ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER
Tam Kare Özdeşliği:
İki Terim Toplamının Karesi : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
İki Terim farkının Karesi : (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
Üç Terim Toplamının Karesi: (a +b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2.(ab + ac + bc)
İki Terim Toplamının Küpü: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
İki Terim Farkının Küpü : (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
İki Kare Farkı Özdeşliği: a2 – b2 = (a + b).(a – b)
xn + yn veya xn − yn biçimindeki polinomların Özdeşliği
İki küp Toplamı : a3 + b3 = (a + b).(a2 – ab + b2)
İki küp Farkı : a3 − b3 = (a − b).(a2 + ab + b2)
a4 – b4 = (a2 + b2).(a + b).(a – b)
a5 + b5 = (a + b).(a4 – a3b + a2 b2 – ab3 + b4)
a5 – b5 = (a – b).(a4 + a3b + a2 b2 + ab3 + b4)
a6 – b6 = (a – b).(a2 + ab + b2).(a+ b).(a2 − ab + b2)
a7 + b7 = (a + b).(a6 – a5b + a4b2 – a3b3 + a2b4 – ab5 + b6)
a7 – b7 = (a – b).(a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6)
Özdeşlikleri aşağıdaki şekilleriyle düzenleyerek kullanabiliriz
x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy
x2 + y2 = (x – y)2 + 2xy
(x – y)2 = (x + y)2 – 4xy
(x + y)2 = (x – y)2 + 4xy
x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy (x – y)
x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy (x + y)
x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2 (xy + xz + yz)
Ortak Çarpan Parantezine Alma
* a.x+b.x= (a+b).x
* x2+2x=x.(x+2)
* x2y+y=y.(x2+1)
* x2-2xy=x.(x-2y)
* (x+2).b+a.(x+2)=(b+a).(x+2)
Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma
* ax+bx+ay+by=x.(a+b)+y.(a+b)=(x+y).(a+b)
* x3-x2+x-1=x2.(x-1)+(x-1)=(x-1).(x2+1)
* xy-4x-4y+16= x(y-4)-4(y-4) = (y-4).(x-4)
İki Küp Farkı Örnek Soruları ve Çözümleri
Örnek #1: x3 — 27 ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm: Soruyu iki küp farkı haline getirmek için 27 sayısının 33 şeklinde yazarız.
Bu durumda ifademiz x3 — 33 şeklinde olacaktır.
x3 — 33 = (x — 3).(x2 + 3x + 9)
Örnek #2: 8a3 — 64b3 ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm: Soruyu iki küp farkına çevirmek için 8a3 — 64b3 ifadesini (2a)3 — (4b)3 şeklinde yazarız. Bu durumda özdeşliği yazarsak
(2a)3 — (4b)3 = (2k — 5m). (4a2 + 8ab + 16b2)
Örnek #3: a — b = 10 ve a.b = 30 olmak üzere a3 — b3 ifadesinin eşiti kaçtır?
Çözüm: a3 — b3 ifadesini açalım. a3 — b3 = (a — b).(a2 + ab + b2) olur. Burada a — b ve a.b ifadelerini biliyoruz. İhtiyacımız olan tek şey a2 + b2 ifadesini bulmaktadır. Bunu bulmak için de (a — b) ifadesinin karesini alalım.
(a — b)2 = a2 + b2 — 2ab olur. Formülde bildiklerimizi yerine yazarsak
102 = 100 = a2 + b2 — 2.30 olur. Buradan da a2 + b2 =160 bulunur.
Şimdi özdeşlikte hepsini yerine yazalım.
a3 — b3 = (a — b).(a2 + ab + b2) = 10.(160 + 30) = 10.190 = 1900 bulunur.
Aradaki farkı anlamak için bu konuyla ilgili özdeşlikleri verelim.
- a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)
- a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
- (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
- (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Yukarıda küp farkı ve toplamı formülü de verilmiştir.
Bu formülleri birbirine karıştırmamaya dikkat etmek gerekir.
ax²+bx+c ifadesini çarpanlara ayırma
ax²+bx+c ifadesi çarpanlara ayrılırken, ax² terimi iki çarpan haline getirilecek (m ve n olsun) ve c terimi de iki çarpan haline getirilecek (p ve r olsun). Bu dört çarpan ikişer ikişer birbirleri ile çarpılıp toplandığında bx terimini verecek şekilde şeçilirler. Diyelim ki bu bx ifadesini m.p+n.r vermiş olsun.
O zaman çarpanlara ayrılmış hali ax²+bx+c=(n+p).(m+r) dir.
Örnek: x²+12x+32 ifadesini çarpanlarına ayıralım.
x²=x.x
32=8.4
8 çarpanı ile x çarpanı çarpılıp 8x, 4 çarpanı ile x çarpılıp 4x bulunur. 8x+4x toplamı x²+12x+32 ifadesindeki ortadaki terim olan 12x vermektedir.
O zaman x²+12x+32 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali şöyledir.
x²+12x+32=(x+8).(x+4)
Örnek: 20x²-x-12 ifadesini çarpanlara ayıralım.
20x²=4x.5x
-12=-4.3
-4.4x=-16x ve 3.5x=15x ve -16x+15x=-x olup 20x²-x-12 ifadesinin ortasındaki terimi verdiğinden.
20x²-x-12=(5x-4).(4x+3)
Örnek: 6x²+11x+3 ifadesini çarpanlara ayıralım.
6x²=3x.2x
3=3.1
3.3x+1.2x=11x olduğundan 6x²+11x+3 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali 6x²+11x+3=(3x+1).(2x+3) tür.