Çokgenler

Çokgenler konumuza çokgen kavramı ile başlıyoruz. Çokgen düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan n tane noktayı ikişer ikişer birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu kapalı şekillere verilen isimdir.

n tane noktanın birleştirilmesiyle oluşturulan çokgenler ngen olarak adlandırılır; üçgen, dörtgen, beşgen, altıgen, sekizgen gibi.

Çokgenlerde kenar sayısı kadar köşe vardır.

Tüm kenar uzunlukları ve açıları eşit olan çokgenlere düzgün çokgenler denir.

Bir çokgende köşeleri birleştiren doğru parçalarına çokgenin köşegenleri denir. Çokgenin etrafını oluşturan doğru parçaları ise çokgenin kenarlarıdır. Çokgeni isimlendirirken çokgenin kenar sayısı esas alınır.

Mesela altıgen dediğimizde altı kenarı olan bir çokgeni ele almış oluruz.

Çokgenler Köşegen Sayısı Bulma Formülü

Köşegen Sayısı : Kenar Sayısı ile kenar sayısının 3 eksiğinin çarpımının yarısıdır.

Köşegen Sayısı : n . (n-3) / 2

Yukarıdaki formülde verilen n değeri kenar sayısını ifade etmektedir.

Çokgenlerde Köşegen Sayısı Bulma Formülü İspatı

Bir çokgenin n tane kenarı olduğunu düşünelim. Kenar sayısı ile köşe sayısı eşit olduğu için n tane köşe demektir. Burada çokgenin her bir köşesinden kendisine ve en yakın iki komşusuna köşegen çizilemez. Bu nedenle n kenarlı bir çokgenin her bir köşesinden n – 3 tane köşegen çizilir. Bu durumda toplam köşegen sayısı n.(n – 3) olması beklenir. Ancak köşegenlerin tersten de çizilmesi söz konusu olduğu için 2’ye böleriz.

Örnek : Dörtgenin köşegen sayısı kaçtır?

Köşegen Sayısı : Kenar Sayısı ile kenar sayısının 3 eksiğinin çarpımının yarısıdır.

Köşegen Sayısı : n . (n-3) / 2 = 4 . (4-3) / 2 = 2

Yukarıdaki formülde verilen n değeri kenar sayısını ifade etmektedir.

Örnek : Altıgenin köşegen sayısı kaçtır?

Köşegen Sayısı : Kenar Sayısı ile kenar sayısının 3 eksiğinin çarpımının yarısıdır.

öşegen Sayısı : n . (n-3) / 2 = 6 . (6-3) / 2 = 9

Çokgenlerin Özellikleri

• Bir çokgenin bir köşesinden n – 3 köşegen çizilir ve bu çokgeni n – 2 tane üçgensel bölgeye ayırır.
• Çokgenlerin de en alt birimi yine üçgenlerdir.
• Çokgenlerin dış açıları toplamı 360 derecedir.

Düzgün Çokgenler

Bütün kenarlarının uzunlukları aynı olan çokgenlere düzgün çokgenler denir. Üçgenlerden bir tek eşkenar üçgen düzgün çokgen sınıfına girmektedir. Düzgün çokgenlerde kenar uzunlukları aynı olduğu için açı ölçüleri de aynıdır. Sabit bir iç açı ve sabit bir dış açı vardır. Dörtgenlerde ise düzgün dörtgen karedir.

Soru: Bir düzgün altıgenin bir iç açısı kaç derecedir.

Çözüm: Çokgenlerde iç açı hesaplamayı henüz görmedik. Ancak bütün çokgenlerin dış açıları toplamının 360 derece olduğunu öğrendik. Buna göre bir düzgün altıgenin de toplam dış açısı 360 olacağına göre bir dış açısı 360/6 = 60 derece olacaktır. Dış açı ile iç açı bütünler olduğu için bir iç açı da 120 derece olacaktır. Bu durumda altıgenin iç açıları toplamı da 6.120 = 720 derecedir. Eğer düzgünlük bozulursa açıların birbirinden farkı olabilir. Ancak 360 ve 720 toplam dereceleri değişmez.

Çokgende iç açılar toplam derecesi (n – 2).180 formülü ile bulunur. Bu hesaba göre çokgenlerde iç açılar toplamı;

• Üçgende 180
• Dörtgende 360
• Beşgende 540
• Altıgende 720
• Yedigende 800 derece olur.

Soru: Bir düzgün ongenin bir iç açısı kaç derecedir?

Çözüm: Çözüm için birden farklı yol kullanabiliriz.

I. Yol

Düzgün çokgende bütün iç açılar ve dış açılar birbirinin aynısı olduğu için bir dış açı 360 / 10 = 36 olur. Bütünler olan iç açı da 180 – 36 = 144 bulunur.

II. Yol

Bir çokgenin iç açıları toplam derecesi (n-2).180 formülüyle hesaplanmaktadır. Bu durumda bir ongenin iç açılar toplamı 8.180 = 1440 bulunur. Her bir açıya ise 1440 / 10 = 144 derece düşmüş olur.

Düzgün çokgenlerde her bir iç açının ölçüsü kenar sayısı arttıkça artar. Bir dış açının ölçüsü de toplam sabit olması itibariyle azalır.

Yukarıdaki tablo düzgün çokgenlerden ilk dördünün açı durumlarını vermektedir. Bu değerler yukarıda verdiğimiz çokgen formülleriyle ortaya çıkmaktadır.