e Sayısı Nedir?
e sayısı veya Euler sayısı, matematik, doğal bilimler ve mühendislikte önemli yeri olan sabit bir reel sayıdır. e sayısı aynı zamanda doğal logaritmanın tabanıdır.
e sayısı aşkın bir sayıdır, dolayısıyla irrasyoneldir ve tam değeri sonlu sayıda rakam kullanılarak yazılamaz. Tam değeri sonlu sayıda rakam kullanılarak yazılamaz.
e Sayısı Nasıl Bulundu?
“e” sayısı matematikte ve mühendislik biliminde çok önemli bir yere sahip, sıkça kullanılan sabit bir reel sayıdır. Doğal logaritmanın tabanıdır ve ayrıca irrasyoneldir.
Pi sayısının yanında daha gizemli görünen e sayısı adını ünlü matematikçi Euler’in baş harfinden alır. Bir diğer ismi de “Euler sabiti”dir.
Yaklaşık değeri; e = 2.718281828459045235360287471352662497757247…..
Peki Bernoulli Bu Sayıyı Nasıl Buldu?
“e“ sayısının bulunuşu 17. Yüzyılların ilk başlarına dayanıyor. O dönemde coğrafi keşiflerinde etkisiyle uluslararası ticarette ve finansal işlerde büyük bir artış olmuş, bileşik faiz fikri daha çok ilgi çekmeye başlamıştı. Jakob Bernoulli e sayısını bir bileşik faiz probleminden buldu.
e Sayısının Tarihi
e sabitine dolaylı olarak ilk değinen İskoç matematikçi John Napier olmuştur. Napier, 1618’de logaritmalar üzerine yayımladığı bir kitabın ekinde, e sabitini kullanarak bazı hesaplar yapmıştır;fakat sabitin kendisiyle fazla ilgilenmemiştir. e sayısını gerçek anlamda ilk keşfeden Jakob Bernoulli olmuştur. Bernoulli, e sayısını 1683’te birleşik faiz problemini incelerken keşfetmiş ve bu sayının yaklaşık değerini hesaplamıştır. Sabite e ismini veren ise İsviçreli matematikçi Leonhard Euler’dir. Euler ilk olarak 1731’de Christian Goldbach’a yazdığı bir mektupta bu sabitten “e sayısı” diye bahsetmiştir. Euler öncesi ve sonrasında bu sabit için b ve c harfleri de kullanılmışsa da sonuçta kabul edilen isim e olmuştur.
Euler e sayısını, virgülden sonra 23. basamağına kadar hesaplayabilmiştir. Günümüzde ise e sayısının milyarlarca basamağı bilinmektedir. e,nin irrasyonel bir sayı olduğu Euler tarafından,aşkın bir sayı olduğu ise Fransız matematikçi Charles Hermite tarafından kanıtlanmıştır.
e Sayısının Uygulama Alanları
Birleşik faiz problemi
Jakob Bernoulli,e sabitini birleşik faiz problemini incelerken keşfetmiştir. Bu problem, basit bir örnekle anlatılabilir. Elinde 1 lirası olan bir yatırımcı, parasını yılda %100 faiz veren bir bankaya yatırırsa,bir sene sonra 2 lirası olacaktır. Diğer yandan bu yıllık faiz %50 – %50 şeklinde yılda iki kez işlerse, yatırımcının yıl sonundaki parası (1 + ½)² = 2,25 lira olacaktır. Benzer şekilde eğer faiz yılda dört kez %25 oranında işlerse, yatırımcının yıl sonundaki parası (1 + 1/4)4 = 2,4414… lira olacak, faiz her ay %8,333… oranında işlerse yıl sonundaki para (1 + 1/12)12 = 2,6130… lira olacaktır.
Bernoulli denemeleri
e sayısı olasılık kuramında da çeşitli şekillerde karşımıza çıkar. Örneğin bir kumarcı, kazanma şansı 1/n olan bir oyunu n kere oynarsa, yaklaşık 1/e (%36,787…) ihtimalle hiçbir seferde kazanamayacaktır. n ne kadar büyükse, hiç kazanmama ihtimali 1/e,ye o kadar yakın olur.
Kumarcının n seferde k kere kazanma olasılığı, binom dağılımına göre aşağıdaki değere eşittir:
Buna göre, n seferde k = 0 kere kazanma olasılığı, (1 – 1/n)n dir, ve bu ifade, n büyüdükçe 1/e,ye yaklaşır.
Şapka problemi
Bir restorana giren ve girişte şapkalarını vestiyere bırakan n tane müşteri düşünelim. Vestiyer, şapkalara etiket takmayı unutunca hangi şapkanın hangi müşteriye ait olduğunu unutuyor, ve çıkışta şapkasını isteyen her müşteriye rastgele bir şapka seçip veriyor. Bu durumda, n müşteriden hiçbirinin kendi şapkasını almaması olasılığı, aşağıdaki toplama eşittir:
Müşteri sayısı n büyüdükçe, bu toplam 1/e değerine yaklaşacaktır.